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辉煌指定平台,写作14个月,审稿花10年:这篇论文解决了数学物理界的大问题

2020-01-09 15:31:37 点击:341

辉煌指定平台,写作14个月,审稿花10年:这篇论文解决了数学物理界的大问题

辉煌指定平台,有没有兴趣

来做题

在普林斯顿大学的某个网站至今仍保留着上世纪的页面风格。

这个简陋的网站上只有红色、蓝色、紫色和橙色的文字,以及一系列难懂的短语列表,如“不可能性定理”、“自旋玻璃态”和“费米气体”。

这就是“数学物理开放问题”(open problems in mathematical physics)的网站,它列出了数学物理学中最令人费解的 13 道数学难题。

这13道题也是普林斯顿大学的物理和数学教授michael aizenman,在20世纪末,所收集整理的“愿望清单”。

解开其中任一难题,都可能为你赢得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖。所以对科学家来说,解开其中任意一题,都是至高无上的荣誉。

网站还很少女性的在已经解决了的问题旁标识一个“已解决!”的卡通爆炸图案。

在这些棘手的问题当中,有一个问题叫量子霍尔电导问题(quantum hall conductance problem)折磨了数学家们多年。

虽然在物理界,很少有人听说过,但它与量子技术的实际应用有着紧密关系。

在问题毫无进展之时,一位来自希腊名为spyridon michalakis的新人声称得到了答案。

数学狂热分子

spyridon michalakis 出生于希腊,从小就热爱数学,并展现出过人的数学天赋。

spyridon michalakis

1994年,他的哥哥在全国数学竞赛上失利,而当时才14 岁的 spyridon拿到卷子, 只花了三天就解出了那份试卷上的问题。

成绩优异的他也一路开挂,在获得量子信息科学博士学位后,michalakis 来到新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯国家实验室,开启他学术职业生涯。

一天,他与导师 matthew hastings 在一家寿司店共进午餐。

hastings 问:“你是想现在就做些有趣的工作,还是先热热身?”

michalakis 说,他已经准备好迎接挑战。

当天晚上,hastings 给他发送了那个普林斯顿大学的复古网页链接,说道:“这些是由数学物理学家 michael aizenman 于 1998 年至 1999 年间收集的难题,你只要能做出来就算你厉害。”

michalakis浏览了网页后发现,只有一个问题旁边贴上了卡通爆炸图案,尽管它只是被部分解决了。

他发现,即便是这个部分的解决方案,但也为两位数学家分别赢得了 2006 年和 2010 年的菲尔兹奖章。

原来hastings 想让他尝试的是量子霍尔电导问题,而 michalakis 此前从未听说过它。

matthew hastings

但既然给了任务,那就去尝试吧,毕竟就算解决部分问题,也能获得一些荣誉!

那量子霍尔效应是什么呢?

这个问题于1999年被首次提出,与“量子霍尔效应”相关。

1879 年,物理学家埃德温·霍尔(edwin hall)发现,当电流通过金属片时,在垂直方向施加磁场,一小部分电流会发生偏转。

经典霍尔效应是带电粒子在磁场中运动的简单结果。

1980 年,德国物理学家冯·克利青(klaus von klitzing)的重复实验确证了这一效应,这次电流通过的是冷却到接近绝对零度的金属和半导体之间的薄界面。

在这些条件下,电流是二维的,正如超薄石墨烯材料一样,二维完全改变了它的性质。

冯·克利青发现,如果缓慢增加磁场强度,偏转的电流并不会像预期般稳定增长,而是发生阶跃(current step)。

也就是说,电流表现得更像量子世界的粒子一样,有特定的能级,只不过这是在日常生活中可见的量子行为。

这一发现也让冯·克利青获得了1985年的诺贝尔物理学奖。

1982 年,at&t 贝尔实验室的研究人员改进了这一实验,这进一步加深了人们的兴趣。他们在实验中使用了更强的磁场和更低的温度,发现在原来的能量阶跃之间还有等分的新阶跃。

他们给这一新现象起了专属的名字:分数量子霍尔效应(fractional quantum hall effect)。

量子霍尔效应有两种,分别是整数和分数量子霍尔效应。

两种效应的发现都是先源于实验,之后才发展了相关的理论基础。

整数和分数量子霍尔效应都表明,这些系统中的电子在某种程度上会以一种统一的、整体的方式相互作用,尽管通常它们会表现得像一个个乒乓球一样相互弹开。

即使物理学家已经在这一领域取得了如此多的重大进展,但关于电子究竟是如何做到这一点的问题仍然存在。

数学途径来解决

michalakis在2008年开始研究这个问题,他花了很长的时间来弄清楚,对于量子霍尔效应出现的原因,理论研究者们是怎样开始研究的。

他发现,关键点出现在 20 世纪 80 年代,当时物理学家 david thouless 等人正着手绘制一幅涉及到拓扑学的量子霍尔效应全景图。

拓扑学研究的是物体的形状在弯曲或拉伸时不会改变的特性。例如,甜甜圈可以被拉伸成咖啡杯的形状,但如果想要把它变成球体,就必须将它撕裂。

在霍尔效应的背后,就存在有点类似的情形:即使材料中存在着杂质,电导也不会改变。

用数学方法来描述这类事物时会用到两个性质:其一是“亏格”(genus),表示一个物体上有多少个洞;其二是“卷绕数”(winding number),表示一个物体环绕另一个物体的圈数。

thouless 和合作者将量子霍尔效应中的电子视作连续的电子海,并用拓扑语言来描述它。

这就解释了冯·克利青观察到的现象。就像挤压甜甜圈一样,如果你轻微改变电子路径,类似于半导体中的杂质造成的效果,电子海的拓扑描述不会发生明显变化。

这就从数学上解释了为什么即使在实验不精确的情况下,这种效应也精确发生了。

结果还表明,卷绕数(只能是1或2这样的整数)与阶跃出现时的电压在数学上有着紧密的联系。

平息电子海

其实早在michalakis和hastings之前,就有将拓扑用于研究量子霍尔效应的想法存在。

但是之前的研究人员都被迫做出两种假设中的一种——要么是假设描述系统的数学空间的整体图景等同于局域图景,要么是假设系统中的电子不相互作用。

第一个数学假设被怀疑是错误的,而第二个物理假设是不现实的。

当他一筹莫展时,他忽然想到,既然hastings 找他来完成这项任务一定是有原因的。

他开始仔细查阅 hastings 的研究目录,很快就找到了有希望解决问题的工具。

在 hastings 的引导下,他逐渐构建了对这个问题的全新认知模型。

michalakis和hastings用一种新颖的方式将整体图景与局域图景联系了起来,对问题中拓扑结构的理解更加精细,成功的移除了这些假设。

为了说明它们的方法,让我们想象一下让快速远离地球时看到的画面:我们将看到的是一个没有山脉、没有峡谷的球体,让你可能会误以为能在没有任何障碍的情况下环游这颗星球。但当你回到地球时,你意识到这是不可能的——你必须穿越高山和峡谷。

两人使用的是一个被称为“准绝热演化”的改进版工具,与其前身不同的是,它本身是拓扑的。这使他们能够看到量子海的整体能量景观,并消除所有的峰和谷,因为拓扑结构不会受这些细节影响。

在数学意义上,michalakis和hastings的解决方案所做的,就是确定一条开放、平坦的路径,在这条路径上你不会遇到任何的低谷或高峰,本质上与你在远离地球时所感知的幻觉相符。

已解决!

当然,michalakis和hastings的实际证明比这个要复杂得多了;他们用了40页的数学推理来书写最初的证明,但经过艰苦的编辑过程,这个数字最终缩减到了30页。

他们在2009年就提交了解决方案,但专家们花了很长的时间才消化这个结果。

但当他们试图就此发表正式文章时,审稿人们却无法理解它。

以色列海法理工学院的物理学家 joseph avron 说,“hastings 和 michalakis 的论文技巧性太强,我无法从全部步骤中判断整体证明是否成立。”

2013 年hastings 和 michalakis 最后一次梳理了这一证明,使其尽可能地紧凑和优雅。

但改进后的论文仍未获包括 avron 在内的评审人的认可。

他和两人打了电话,但仍然无法弄懂证明中的数学。

“当我提问时,我认为他们误解了我的问题,我也误解了他们的答案。” avron 说。在两年多的时间里,他不仅和两人多次交谈,还多次重读了论文,并参加了他们的讲座。

最后,综合他自己和其他专家对不同证明部分的理解,avron 终于认可了该论文。

2015年,这个证明在《数学物理通讯》上正式发表。

不久之后,其他研究者用 avron 能够理解的数学语言发表了补充论文。

在问题被贴出的 19 年后,同时也是 michalakis 和 hastings 完成证明 10 年后,avron 终于把这个问题标记为“已解决!”

不过也不是所有人都同意这一问题已成定论。

佐治亚理工学院的物理学家 jean bellissard 说:“他们证明了量子霍尔效应的拓扑性,但没有证明电导是阶跃变化的,存在平台。”

虽然 michalakis 反驳了这点,但是bellissard 也承认他们的工作是一项突破,是最终解法重要的一部分。

不管怎样,这个证明有助于实现量子霍尔效应的实际应用。hastings 现在就在微软位于加州的量子计算实验室“q 站”工作,他正在试图造出一种全新的量子计算机。

那既然他们解决出了这个难题,他们有机会获得菲尔兹奖吗?

很遗憾不行。

不是因为没达到那个高度,而是错过了年纪……

因为这一数学界最高奖项 4 年一次,颁发给 4 位 40 岁以下的数学家。

当他们最初发表证明时,michalakis 29 岁,hastings 则已 36 岁。由于科学界花了近十年才接受他们的证明,这意味着等 2022 年评选下一届菲尔兹奖时,他们俩已经超龄了……

不过,这并没有困扰到 michalakis,他现在将研究与科学传播相结合,比如成为电影《蚁人》的科学顾问。

“我不再关心获奖了,对我来说,弄明白问题的真正乐趣在于与下一代人分享它。”

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